激波（或稱沖擊波）的產生與傳播是一個普遍的物理現象。例如在連續介質中的爆破通常會產生一個激波由爆破源往外傳播，在超過音速的高速飛行物體前方通常也總會有一個激波隨之一起運動。在空氣動力學的研究中激波的運動（包括其生成、傳播、反射等）占著極其重要的地位，對激波運動的理論研究涉及許多困難的數學問題。本書以偏微分方程為主要工具對激波反射所涉及的數學問題做深入的分析。為方便讀者，本書結合以后展開討論的需要先介紹流體力學方程組以及激波的一些基本事項，然后對定常與非定常的激波反射，正則反射與馬赫反射都逐一進行分析，并對其中一些重點的問題給出詳細的數學證明。同時，本書也提出一些未解決的問題并指出其中會遇到的困難，期待后續研究能有新的推進。本書適合有關專業的研究生與科研人員、工程技術人員閱讀，希望能有助于讀者迅速進入這一研究領域。

目錄

 

第一章緒論......................................................1

 

1.1激波反射問題的物理背景....................................1

 

1.2方程與邊界條件............................................4

 

1.2.1

Euler方程組與其簡化模型.............................4

 

1.2.2激波、Rankine-Hugoniot條件.........................10

 

1.2.3熵條件..............................................16

 

1.2.4邊界條件............................................22

 

1.3平面激波的反射............................................23

 

 

1.3.1平面激波的正反射....................................23

 

1.3.2平面激波的斜反射....................................26

 

第二章激波極線分析..............................................27

 

2.1

Euler方程組的激波極線.....................................27

 

2.1.1在(u,v)平面上的激波極線............................27

 

2.1.2在(,p)平面上的激波極線............................33

 

2.2位勢流方程的激波極線......................................35

 

2.3平面激波反射與Mach結構..................................43

 

2.3.1平面激波正則反射....................................43

 

2.3.2Mach結構..........................................48

 

第三章激波正則反射的擾動........................................54

 

3.1二維空間中含超音速反射激波的正則反射......................54

 

3.1.1角狀區域中的邊值問題................................54

 

3.1.2關于具特征邊界的自由邊值問題的結論..................58

 

3.1.3等熵無旋流激波反射問題局部解的存在性................59

 

3.1.4非等熵流激波反射問題局部解的存在性..................61

 

3.2三維空間中含超音速反射激波的正則反射......................64

 

3.2.1預備事項............................................64

 

3.2.2線性化問題及有關的先驗估計..........................72

 

3.2.3非線性問題第一近似解的構造..........................78

 

3.2.4Newton迭代法與非線性問題解的存在性.................85

 

3.3含跨音速反射激波的正則反射................................88

 

第四章Mach反射結構的穩定性....................................93

 

4.1問題的歸結與Mach結構的分類..............................93

 

4.1.1E{E型與E{H型Mach結構...........................93

 

4.1.2方程與邊界條件......................................95

 

4.2Lagrange變換與非線性方程的典則形式.......................98

 

4.2.1定常流的Lagrange變換...............................98

 

4.2.2激波邊界的處理......................................101

 

4.2.3方程組的分解........................................103

 

4.3E{E型Mach結構導致的線性化問題的估計....................105

 

4.3.1線性化問題..........................................105

 

4.3.2橢圓子問題..........................................106

 

4.3.3Sobolev估計........................................108

 

4.3.4Holder估計.........................................111

 

4.4迭代過程的收斂性與E{E型Mach結構的穩定性...............114

 

4.4.1解非線性問題(NL)的迭代過程........................114

 

4.4.2迭代格式的收斂性....................................116

 

4.4.3自由邊值問題解的存在性..............................117

 

4.5E{H型Mach結構的穩定性.................................120

 

4.5.1問題與結論..........................................120

 

4.5.2非線性Lavrentiev-Bitsadze混合型方程.................122

 

4.5.3問題的線性化處理....................................126

 

4.5.4線性Lavrentiev-Bitsadze方程廣義Tricomi問題的求解....128

 

4.5.5關于非線性問題的結論................................135